Monotonie von Funktionen - Monotonieverhalten

Das Monotonieverhalten einer Funktion gibt Auskunft darüber, wie sich der Funktionsgraph innerhalb eines bestimmten Bereiches verhält. Dabei wird untersucht, ob die Funktion monoton steigt oder fällt, und sollte das der Fall sein ob streng oder nicht.

Monotonieverhalten von Funktionen

Anhand des Monotonieverhaltens von Funktionen lassen sich Aussagen über die Funktion innerhalb bestimmter Intervalle treffen. Im obigen Beispiel ist der Funktionsgraph der Funktion f in vier Abschnitte (Intervalle) unterteilt. Zur Interpretation des Funktionsverhaltens bewegen wir uns "auf" dem Funktionsgraphen in Richtung der x-Achse fort.

Intervall I
Der Funktionsgraph der Funktion f verläuft im Intervall I zunächst horizontal, und fällt anschließend. Alle y-Werte der Funktion f in Intervall I sind in x-Richtung kleiner als alle vorigen y-Werte in Intervall I, jedoch gibt es in Intervall I mehrere x-Werte der Funktion mit dem gleichen y-Wert. Deshalb ist die Funktion in Intervall I monoton fallend.

wenn \(x1 \lt x2 \rightarrow f(x1) \geq f(x2)\) , dann ist die Funktion monoton fallend

Intervall II
Der Funktionsgraph der Funktion f fällt im gesamten Intervall II. Ausnahmslos alle y-Werte der Funktion f in Intervall II sind in x-Richtung kleiner als alle vorigen y-Werte in Intervall II. Deshalb ist die Funktion f im Intervall II streng monoton fallend.

wenn \(x1 \lt x2 \rightarrow f(x1) \gt; f(x2)\) , dann ist die Funktion streng monoton fallend

Intervall III
Der Funktionsgraph der Funktion f steigt im gesamten Intervall III.  Ausnahmslos alle y-Werte der Funktion f in Intervall II sind in x-Richtung größer als alle vorigen y-Werte in Intervall III. Deshalb ist die Funktion f im Intervall III streng monoton steigend.

wenn \(x1 \lt x2 \rightarrow f(x1) \leq f(x2)\) , dann ist die Funktion monoton steigend

Intervall IV
Der Funktionsgraph der Funktion f verläuft im Intervall IV zunächst horizontal, und steigt anschließend. Alle y-Werte der Funktion f in Intervall IV sind in x-Richtung größer als alle vorigen y-Werte in Intervall IV, jedoch gibt es in Intervall IV mehrere x-Werte der Funktion mit dem gleichen y-Wert. Deshalb ist die Funktion in Intervall IV monoton steigend.

wenn \(x1 \lt x2 \rightarrow f(x1) \lt; f(x2)\) , dann ist die Funktion streng monoton steigend